Diketahui segitiga ABC dengan \( A(2,1,2), B(6,1,2) \) dan \( C(6,5,2) \). Jika \( \vec{u} \) mewakili \( \vec{AB} \) dan \( \vec{v} \) mewakili \( \vec{AC} \) maka sudut yang dibentuk oleh vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) adalah… (UN 2011)
- \( 30^\circ \)
- \( 45^\circ \)
- \( 60^\circ \)
- \( 90^\circ \)
- \( 120^\circ \)
Pembahasan:
Pertama, kita tentukan vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) terlebih dahulu, yakni:
\begin{aligned} \vec{u} &= \overrightarrow{AB}= B-A = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\[8pt] |\vec{u}| &= \sqrt{4^2+0^2+0^2} = \sqrt{16} = 4 \\[8pt] \vec{v} &= \overrightarrow{AC}= C-A = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \\[8pt] |\vec{v}| &= \sqrt{4^2+4^2+0^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \end{aligned}
Selanjutnya, tentukan vektor yang dibentuk yang dibentuk oleh vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \), yakni:
\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{b}}{ |\vec{u}||\vec{v}| } = \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}}{ 4 \cdot 4\sqrt{2} } \\[8pt] &= \frac{16 + 0 + 0}{ 16\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2}} \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\[8pt] \theta &= 45^\circ \end{aligned}
Jawaban B.